Estadística Multivariada

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# Estadística multivariada, 1 sem. 2019

## Juan Carlos Castillo & Alejandro Plaza

## **Sesión 7**: Predictores categóricos e inferencia

---
class: inverse

# Contenidos

## 1. Repaso de sesión anterior

## 2. Predictores Categóricos

## 3. Inferencia Estadística

---
class: inverse, middle, center

# 1. Repaso sesión anterior

---
# Control de terceras variables

.pull-left[
## 1. Control por diseño

- Característico de la metodología experimental

- Por aleatorización a diferentes situaciones (ej: tratamiento y control)
]

.pull-right[

## 2. Control estadístico

- Característico de análisis de datos secundarios (ej: encuestas)

- Se incluyen en el modelo variables que teóricamente podrían dar cuenta o afectar la relación entre X e Y.

- Esto despeja o "controla" la asociación de `$X_1$` e `$Y$`, aislando el efecto conjunto de `$X_1$` y `$X_2$` (... y `$X_n$`)
]

---
# Estimación de parámetros y control
.pull-left[.small[
### Ej 1: sin correlación relevante entre predictores
.center[![](../images/ingeduex1.png)]
]
]

---
# Estimación de parámetros y control

.pull-left[.small[
### Ej 1: sin correlación relevante entre predictores

<table cellspacing="0" align="center" style="border: none;">
<caption align="bottom" style="margin-top:0.3em;"> </caption>
<tr>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;"></th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 1</th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 2</th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 3</th>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(Intercept)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.15</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.15</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.16</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">educacion</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.40***</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.40***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">experiencia</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.30**</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.31**</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: 1px solid black;">R2</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.13</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.08</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.21</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Adj. R2</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.12</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.07</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.20</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Num. obs.</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">RMSE</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.94</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.97</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.90</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;" colspan="5">***p &lt; 0.001, **p &lt; 0.01, *p &lt; 0.05</td>
</tr>
</table>
]
]
---
# Estimación de parámetros y control
.pull-left[.small[
### Ej 1: sin correlación relevante entre predictores
.center[![](../images/ingeduex1.png)]
]
]

.pull-right[.small[
### Ejemplo 2: con correlación entre predictores
.center[![:scale 90%](../images/ingresoeducexp.png)]
]
]

---
# Estimación de parámetros y control
.pull-left[.small[
### Ej 1: sin correlación relevante entre predictores

.pull-right[.small[
### Ejemplo 2: con correlación entre predictores

<table cellspacing="0" align="center" style="border: none;">
<caption align="bottom" style="margin-top:0.3em;"> </caption>
<tr>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;"></th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 1</th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 2</th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 3</th>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(Intercept)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.15</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.14</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.14</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.08)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">educacion</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.52***</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.40***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">experiencia</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.50***</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.39***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.10)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(0.09)</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: 1px solid black;">R2</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.23</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.22</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.35</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Adj. R2</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.22</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.21</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.33</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Num. obs.</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">100</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">RMSE</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.89</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.89</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">0.82</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;" colspan="5">***p &lt; 0.001, **p &lt; 0.01, *p &lt; 0.05</td>
</tr>
</table>

]
]

---
class: inverse

# RESUMEN

- Los coeficientes de regresión (X) no alteran su valor en los modelos en ausencia de correlación entre ellos (Ejemplo 1)

- Si hay correlación entre predictores, el valor de los coeficientes de regresión será distinto en modelos simples y en modelos múltiples

- Por ello, en regresión múltiple se habla de coeficientes de regresión **parciales**

- Esta diferencia se relaciona con el concepto de control estadístico

- Ejemplo 2, modelo 3: El ingreso aumenta en 0.4 puntos por cada nivel adicional de educación, **controlando por experiencia**. O también ...

- manteniendo la experiencia _constante_

- _ceteris paribus_

---
class: inverse, middle, center

# 2. Predictores Categóricos

---

## Variables categóricas

- Hasta el momento sólo hemos considerado variables explicativas de niveles continuos o intervalares.

- A menudo, las variables explicativas son categóricas.

###Variables binarias / dicotómicas
- Hombre, Mujer
- Vivo, Muerto
- Votó, No Votó.

###Variables politómicas:
- Básica, Medía, Técnica, Universitaria
- Frente Amplio, Nueva Mayoría, Chile Vamos, No interesado.

---

## Variables categóricas

- Pensemos que queremos predecir el ingreso de una persona, a partir de una variable `$X$`, que expresa el sexo de una persona

`$$X=1(Mujer)$$`
`$$X=0(Hombre)$$`

--
El coeficiente `$\beta$` es la diferencia esperada de `$Y$` (ingreso) entre hombres y mujeres.

Para las mujeres: `$Y=\alpha +\beta X= \alpha+\beta$`

Para los hombres: `$Y=\alpha +\beta X= \alpha$`

Diferencia      : `$\beta$`

Podemos usar la misma idea básica para incluir variables explicativas binarias y catégoricas en los modelos de regresión múltiple.

---

## Variables categóricas: Ejemplo

Basandonos en Castillo, Miranda y Madero (2013), intentaremos explicar el estatus social subjetivo en base a la encuesta ELSOC.

### Variable dependiente

En nuestra sociedad, hay grupos que tienden a ubicarse en los niveles más altos y grupos que tienden a ubicarse en los niveles más bajos de la sociedad.  ¿Dónde se ubicaría usted en la sociedad chilena?

-Likert de 0 a 10 donde 0 "El nivel más bajo" y 10 "El nivel más alto"

### Variables independientes

- Ingreso
- Edad
- Sexo (Hombre=0; Mujer=1)

---

## Ejemplo estimación

Este resultado implica que las mujeres (sexo=1) obtienen 0.13 puntos promedios menos **en relación** a los hombres (sexo=0) en la variable de estatus social subjetivo, manteniendo las otras variables constantes.

---
## Más de dos categorías

- ¿Qué sucede cuando quiero predecir el estatus social subjetivo en base una variable catégorica con más de dos valores? (ej. Educación, Clase Social, Posición política).

- La solución estándar es convertir esta variable en un conjunto de variables binarias o variables "dummy".

- El conjunto de éstas variables dummy dan lugar a la variable categórica completa.

---

## Especificando el conjunto de variables dummy.

- Las variables dummy son **todas las categorías menos una** de una variable categórica incluida en el modelo.

- La categoría que no tiene una variable dummy es la **Referencia**, que jugará un rol de línea base en el análisis.

- El coeficiente de la variable dummy es la diferencia esperada en la variable dependiente `$Y$` entre la categoría y la categoría de referencia.

- Las diferencias entre las categorías no de referencia están dadas por las diferencias entre sus coeficientes.

- La decisión de la categorías de referencia es arbitraria: el modelo es el mismo de cualquier forma.

---

## Especificando el conjunto de variables dummy.

- En este ejemplo la variable educación esta expresada en un conjunto de variables `$X$` media, técnica y universitaría, siendo la categoría básica la categoría de **referencia**:

|                 | `$X_{media}$` | `$X_{tecnica}$` | `$X_{universitaria}$` |
|------------------|---------|------------|-----------------|
| Básica           | 0       | 0          | 0               |
| Media            | 1       | 0          | 0               |
| Técnica Superior | 0       | 1          | 0               |
| Universitaria    | 0       | 0          | 1               |

`$$Y_{ingreso} = \beta_{0}+\beta_{1}X_{media}+\beta_{2}X_{tecnica}+\beta_{3}X_{universitaria}$$`

---

.pull-left[
### Resumen
.medium[
- Podemos incluir variables explicativas categóricas incluyéndolas en el modelo como un conjunto de variables dicotómicas 1/0 (dummy).

- Una variable binaria por cada categoría, excepto por una **categoría de referencia**.

- La interpretación de los coeficientes es la diferencia en promedio entre la categoría y la categoría de referencia, manteniendo el resto de las variables constantes.

- La selección de la categoría de referencia suele ser arbitraria y no genera una diferencia sustantiva en el modelo, pero ojo que determina cual es la unidad de agrupamiento y por ende su interpretación.
]
]

.pull-right[
### Modelo de regresión lineal:

.small[

<table cellspacing="0" align="center" style="border: none;">
<caption align="bottom" style="margin-top:0.3em;">Statistical models</caption>
<tr>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;"></th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 1</th>
<th style="text-align: left; border-top: 2px solid black; border-bottom: 1px solid black; padding-right: 12px;">Model 2</th>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">(Intercept)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">4.59 (0.11)***</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">3.36 (0.14)***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">m0_edad</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.00 (0.00)</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.01 (0.00)***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">m29</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.00 (0.00)*</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.00 (0.00)*</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">sexoMujer</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.13 (0.06)*</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">-0.07 (0.06)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">eduMedia</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.60 (0.08)***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">eduTecnica Superior</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">1.07 (0.10)***</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">eduUniversitaria</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;"></td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">1.37 (0.10)***</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: 1px solid black;">R2</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.01</td>
<td style="border-top: 1px solid black;">0.08</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Adj. R2</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.00</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">0.08</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">Num. obs.</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">2339</td>
<td style="padding-right: 12px; border: none;">2337</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">RMSE</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">1.53</td>
<td style="border-bottom: 2px solid black;">1.47</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding-right: 12px; border: none;" colspan="4">Elaboración propia en base a Elsoc</td>
</tr>
</table>
]
]

---
class: inverse, middle,center

# PREGUNTAS

---
class: inverse, middle, center

# 3. Inferencia Estadística

---

# Conceptos claves de inferencia

.pull-left[
- La inferencia en estadística se refiere a la relación que existe entre los resultados obtenidos basados en nuestra muestra y la población:

- ### ¿En qué medida podemos hacer inferencias desde nuestra muestra a la población?

- Un concepto central en esto es el **ERROR** y su cuantificación
]

.pull-right[
![:scale 90%](../images/inference1.png)

]

---
# Error estándar

- Asumimos que nuestra estimación se basa en una muestra, y que podría variar si hubiera sido calculado en una muestra distinta

- Por lo tanto, existe una variación muestral del promedio (u otro estadístico), y una desviación muestral también. La desviación muestral se conoce como el **error estándar**.

- Basados en demostraciones estadísticas, en muestras mayores a 30 esta distribución muestral se aproxima a una distribución normal, con un promedio igual al promedio de la población y una desviación estándar de:

`$$\sigma_{\bar{X}}=\frac{s}{\sqrt{N}}=SE(error estándar)$$`

- Esto se conoce como el teorema del límite central, que nos dice que mediante esta ecuación podemos obtener el error estándar del promedio.

---
# Error, probabilidad e intervalos

- El error estándar nos permite establecer un intervalo de posibles valores para nuestra estimación

- Para ello nos basamos en una función teórica de distribución que es la curva normal

.center[![:scale 85%](../images/normal.png)]

---
# Error, probabilidad e intervalos

- Dentro de las propiedades de la curva normal sabemos que el 68% de los casos se encuentran a +/- 1 SD del promedio, y el 95% a +/- 1.96 SD

- En base a esto, por ejemplo si tenemos una muestra de 50 bebes, estatura `$\bar{X}=64cm$` , y desviación estándar `$\sigma=4$`:

`$$SE=\frac{4}{\sqrt{50}}=0.56$$`

- 64 +/- 0.56 nos da un intervalo de 63.43-64.56, donde se encuentra el 68% de la población
- Si sumamos +/- 1.96 SE (1.09) nos da un intervalo de 62,91 - 65.09 de estatura donde se encuentra el 95% de los bebes

---
# Prueba de hipótesis

- La prueba de hipótesis tiene como elemento central formular una hipótesis nula, la cual indica que no hay diferencias entre medias o que la correlación/coeficiente de regresión es igual a cero.

- El rechazo de hipótesis tiene que ver con el concepto de **probabilidad** y error (estándar)

_Ej: ¿con qué nivel de probabilidad puedo decir que existen diferencias entre hombres y mujeres en rendimiento en matemáticas?_

- Por lo tanto, el elemento central en la prueba de hipótesis es establecer es la probabilidad de error que estamos cometiendo en la inferencia

---
# Inferencia sobre diferencias entre grupos

- ¿Son distintos los promedios de dos grupos?

.center[![:scale 60%](../images/intervals.png)]

- En términos generales, se puede rechazar la hipótesis nula con un cierto nivel de confianza cuando los intervalos no se tocan
- ... o en otras palabras, cuando las diferencias son estadísticamente distintas de 0.

---
# Prueba de hipótesis

.pull-left[
Para hacer frente a esta situación, se establecen dos tipos de hipótesis:

- Hipótesis nula ( `$H_{0}$` ): no existen diferencias
- Hipótesis alternativa ( `$H_{a}$` ): existen diferencias

]
--

.pull-right[
¿Tiene el entrenamiento en matemáticas un impacto en mayor puntaje SIMCE?

`$$H_{0}: \mu_{0}=\mu_{1} \vee \mu_{entren}=\mu_{pob}$$`

`$$H_{a}: \mu_{0}>\mu_{1} \vee \mu_{entren}>\mu_{pob}$$`
- Se usa 5% como convención para rechazar la hipótesis nula. Si no hay significación, se falla en rechazar la hipótesis nula.

- El test de hipótesis se asocia a valores de probabilidad, cuyos resultados esperados son p<0.05 ,p<0.01 o p<0.001

]

---

## Prueba de hipótesis

Para el caso del modelo de regresión lineal

`$$y= \beta_{0}+\beta_{1}X_{1} +...+ \beta_{k}X_{k} + u$$`

`$\beta$` es una característica desconocida de la población, que nunca se conocerá con certeza.

No obstante, es posible hacer una prueba de hipótesis acerca el valor de `$\beta$` y después usar la inferencia estadístisca para probarla.

---

## Prueba de hipótesis

A partir de lo anterior, el interés principal reside en probar la **hipótesis nula**:

`$$H_{0}: \beta_{j} = 0$$`
donde `$j$` corresponde a cualquiera de las `$k$` variables independientes.

Esta hipótesis implica que una vez que `$x_{1}, x_{2},..,x_{k}$` han sido tomadas en cuenta, `$x_{j}$` no tiene **ningún** efecto sobre el valor esperado de `$y$`.
---

## Prueba de hipótesis

Entonces contrastamos la *hipótesis nula*:

`$$H_{0}: \beta_{j} = 0$$`

En relación a la siguiente hipótesis alternativa:

`$$H_{a}: \beta_{j} \neq 0$$`
Lo que implica que:

`$H_{0}$`: **No** hay asociación lineal entre el predictor `$X$` y la variable `$Y$` en la población.

`$H_{a}$`: **Hay** asociación lineal entre el predictor `$X$` y la variable `$Y$` en la población.

---

## Prueba de hipótesis para `$\beta{j}$`

.pull-left[

- La mayoría de los programas estadísticos incluyen el error estándar de `$\beta{j}$` o `$SE(\beta{j})$`.

- `$SE(\beta{j})$` estima el error estándar de la distribución muestral de `$\beta{j}$`, cuando se toma una muestra aleatoria de tamaño N de una población y se estima un modelo de regresión lineal.

- Además se incluye el estadístico `$t$` el cual tiene una correspondencia con el valor p que cuantifica la probabilidad de obtener un valor de `$\beta{j}$` diferente de 0.

]

--
.pull-right[.small[

```r
round(summary(modelo2)$coefficients[,1:2],2)
```

```
##                     Estimate Std. Error
## (Intercept)             3.36       0.14
## m0_edad                 0.01       0.00
## m29                     0.00       0.00
## sexoMujer              -0.07       0.06
## eduMedia                0.60       0.08
## eduTecnica Superior     1.07       0.10
## eduUniversitaria        1.37       0.10
```

```r
round(summary(modelo2)$coefficients[,3:4],2)
```

```
##                     t value Pr(>|t|)
## (Intercept)           23.67     0.00
## m0_edad                3.42     0.00
## m29                    2.14     0.03
## sexoMujer             -1.17     0.24
## eduMedia               7.39     0.00
## eduTecnica Superior   10.36     0.00
## eduUniversitaria      13.19     0.00
```

```r
#N=2337
```
]
]

---
# Inferencia, diferencias y prueba _t_

- La prueba _t_ se utiliza para inferencias sobre diferencias entre grupos, y básicamente es una razón entre

.center[![:scale 60%](../images/t1.png)]

- Ya que la diferencia esperada si `$H_0$` es verdadera es 0, entonces es la diferencia observada dividida por el error estándar de la diferencia entre los promedios:

`$$t=\frac{b_j}{SE(b_j)}$$`

---
## Prueba de hipótesis

$$ t = \frac{\hat{\beta_{j}}-0}{SE(\hat{\beta{j}})} $$

Esto implica una distribución muestral t con `$(n-k-1)$` grados de libertad. Con los grados de libertad obtenemos el valor p.

En el ejemplo anterior, para el coeficiente de Educación Universitaria:

`$t=\frac{1.37-0}{0.10}=13.19$`

Entonces, con `$t=13.19$` y grados de libertad = 2330 (GL=2337-6-1=2330), obtenemos un valor p < 0.001, lo que implica que con un 99% de confianza podemos rechazar la hipótesis nula de que `$\beta_{eduUniversitatia}=0$`.

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# Inferencia, diferencias y prueba _t_

Siendo `$SE(b_j)$` el error estándar de la diferencia entre los promedios (o medias condicionales). Pensemos para el caso simple de una variable dicotómica:

`$$se_{diff}=\sqrt{\frac{\sigma_{diff}}{n_a}+\frac{\sigma_{diff}}{n_b}}$$`

- Para lo cual se requiere calcular la desviación estandar de la diferencia:

`$$\sigma_{diff}=\frac{\sigma^2_{a}(n_a-1)+\sigma^2_{b}(n_b-1)}{n_a+n_b-2}$$`

- Al dividir el coeficiente por el error estándar se obtiene el valor t, que luego se contrasta con el valor crítico según los grados de libertad N-k-1 (siendo k el número de regresores)

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## Intervalos de confianza

Los **Intervalos de Confianza** proporcionan un rango de valores posibles para el parámetro poblacional y no sólo una estimación puntual.

Empleando el hecho de que `$(\hat{\beta_{j}}-0)/SE(\hat{\beta{j}})$` tiene una distribución `$t$` con `$n-k-1$` grados de libertad,se puede obtener un intervalo de confianza (IC) a partir de:

`$$IC=\beta_{j}\pm c*SE(\hat{\beta{j}})$$`
donde `$c$` representa el percentil en la distribución `$t_{n-k-1}$`.La selección del percentil, depende del nivel de confianza que se quiere estimar y si la prueba de hipótesis es a una o dos colas.

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## Intervalos de confianza

Calculamos el intervalo de confianza del `$\beta$` de educación sobre ingreso. Sabemos que este es igual a 1.37

En este caso, estimamos el intervalo al 95% de confianza a dos colas, obtenemos lo siguiente:

`$$LimiteSuperior= 1.368 + 1.9609*0.1037=1.57$$`
`$$LimiteInferior= 1.368 - 1.9609*0.1037=1.17$$`
Como se puede observar en ninguno de los límites el `$\beta$` "atraviesa" el cero, por lo que se puede rechazar con el 95% de confianza que `$\beta = 0$`

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## Intervalos de confianza en R

.pull-left[.small[

```r
#Beta de educacion
BeducS<- summary(modelo2)$coefficients[7]
BeducS
```

```
## [1] 1.36884
```

```r
#Error Estandár de Beta de educación.
SE_BeducS <- summary(modelo2)$coefficients[7,2]
SE_BeducS
```

```
## [1] 0.1037626
```

```r
#C 95% de confianza o alfa 0.5 a dos colas
c<- qt(0.975, df=2330)
c
```

```
## [1] 1.960983
```

]
]
--
.pull-right[.small[

```r
#Cálculo del limite de confianza
Limit_Superior<- BeducS + c*SE_BeducS
Limit_Inferior<- BeducS - c*SE_BeducS
c(Limit_Inferior,Limit_Superior)
```

```
## [1] 1.165364 1.572317
```

```r
# o en un comando
confint(modelo2)[7,]
```

```
##    2.5 %   97.5 % 
## 1.165364 1.572317
```

```r
#Y al 99% a dos colas
confint(modelo2, level = 0.99)[7,]
```

```
##    0.5 %   99.5 % 
## 1.101347 1.636334
```
]
]

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## Visualización  de intervalos de confianza

![](7_inferencia1_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png)

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class: inverse, middle

# RESUMEN

- Inferencia estadística: de la muestra a la población

- Basada en cálculo del error e intervalos de confianza

- En concreto: `$\Beta_j/SE=t$`, donde _t_ se asocia a un nivel de probabilidad que luego permite decidir sobre el rechazo a la hipótesis nula

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class: bottom, left

.right[![:scale 30%](https://escudouchile.files.wordpress.com/2012/06/logotipo-facso-ciencias-sociales-u-de-chile.png)]

# Estadística multivariada, 1 sem. 2019

## Juan Carlos Castillo & Alejandro Plaza

## **Sesión 7**: Inferencia Estadística