class: bottom, left .right[] <br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> # Estadística multivariada, 1 sem. 2019 ## Juan Carlos Castillo & Alejandro Plaza ## Sesión 2: Bases --- class: inverse # Contenidos 1. Repaso de sesión anterior 2. Datos 3. Variables 4. Bases Estadística descriptiva: Tendencia Central y Variabilidad 5. Prueba de Hipótesis 6. Correlación --- class: inverse, middle, center # 1. Repaso sesión anterior ## La explicación en ciencias sociales --- # El concepto de explicación en ciencias sociales  + Explanandum: el fenómeno que predentemos explicar (precisión, relevancia y variabilidad). + Explanans: lo que genera la aparición del fenómeno (lógica, eficacia y claridad.) --- # Modalidades de explicación en ciencias sociales (Linares, 2018) + Por leyes de cobertura. + Explicación funcional. + Explicación Estadística. + Explicación "como si". + *Explicación por mecanismos*. --- # ...Volviendo a Pedro, Juan & Diego .center[] ??? Modelo de transmisión intergeneracional de la desigualdad. - Uno de los primeros modelos en sociología que utiliza el path analysis o analisis de sendero. - En este modelo se puede apreciar la operacionalización de un fenomeno abstracto como la transmición intergeneracional de la desigualdad. - Sinergia entre Teoría sociologíca y explicación por mecanismos. --- class: inverse, center, middle # 2. Datos --- # Datos y su representación * Los datos miden al menos una *característica* de a los menos una *unidad* en a lo menos *un punto en el tiempo* + Ejemplo: La tasa de natalidad en Chile el 2017 fue de 1,8 hijos (por mil habitantes) - Característica (variable) : Tasa de natalidad - Unidad: País - Punto en el tiempo: 2017 --- # Base de Datos * Los datos se almacenan en una estructura de base de datos * Base de datos: - cada fila representa una unidad o caso (ej: un entrevistado) - cada columna una variable (ej: edad) <br> .center[] --- # Ejemplos 1. [Encuesta Centro de Estudios Públicos](https://www.cepchile.cl/cep/site/edic/base/port/encuestacep.html) 2. [Encuesta CASEN](http://observatorio.ministeriodesarrollosocial.gob.cl/casen-multidimensional/casen/casen_2017.php) 3. [Encuesta Lapop](https://www.vanderbilt.edu/lapop-espanol/) --- class: inverse, middle, center # 3. Variables --- # Definición Una variable representa cualquier cosa o propiedad que varia y a la cuál se le asigna un valor. Es decir: `$$Variable \neq Constante$$` Pueden ser visibles o no visibles (latentes). Y además se pueden agrupar en: * Variables discretas (Rango finito de valores): - Dicotómicas - Politómicas * Variables continuas. - Rango (teóricamente) infinito de valores. --- # Escalas de medición de variables Escalas (Stevens, 1946): la asignación de medición se manifiesta en distintos niveles o escalas. (acrónimo clave: **NOIR**) .center[] ??? - Nominal: Números empleados como etiquetas (ej. sexo, raza) - Ordinales: Distintas categorías puede sen ordenados en serie. Posición, no distancia. (ej. cargos en una empresa) - Intervalares: Escalas de unidades iguales. Diferencia entre dos número consecuntivos refleja diferencia empírica. (ej. Horas del día) - Razón: caracterizados por la presencia de un cero absoluto. (ej. frecuencias de eventos) --- # Escalas de Variables .center[] --- # Tipos de datos en relación a escalas de medición. * Datos categóricos: pueden ser medidos sólo mediante escalas nominales, u ordinales en caso de orden de rango * Datos continuos: - Medidos en escalas intervalares o de razón - Pueden ser transformados a datos categóricos ??? Conversión de continuo a categórico: estatura (cm) a categorías bajo – mediano – alto --- # Tipos de análisis en relación a tipos de datos. .small[ | | Categórica | Continua | Categórica(y)/Categórica(x) | Contínua(y)/Categórica(x) | |------------- |--------------------------------- |------------------------------- |------------------------------------------------ |------------------------------------------ | | Ejemplo | Estatus Ocupacional | Ingreso | Estatus Ocupacional (Y) / Género (X) | Ingreso (Y) / Género (X) | | Tabla | Sin problemas | Necesidad de recodificar | Tabla de Contingencia | Clasificar Y | | Gráfico | Barras | Histograma / boxplot | Gráfico de barras condicionado | Histograma, box plot condicionado | | Estadística | Frecuencias, proporciones, odds | Media, medidas de dispersión. | Proporciones condicionadas, odds condicionados | Media condicionada, Mediana condicionada | ] --- # Tipos de análisis estadístico bivariado. | Variable independiente x | Variable dependiente Categórica | Variable dependiente Continua | |-------------------------- |----------------------------------- |-------------------------------------- | | Categórica | Análisis de tabla de Contigencia, Chi2 | Análisis de Varianza ANOVA, Prueba T | | Continua | Regresión Logística (y probit) | Regresión Lineal | ??? Ojo, técnicamente tambien podemos generalizar los modelos de regresión con variables independientes categoricas, pero esto requiere unas consideraciones menores, que veremos más adelante --- class: inverse, center, middle # 4. Bases estadística descriptiva: ## Medidas de tendencia central y variabilidad --- # Tendencia Central * Moda: valor que ocurre más frecuentemente * Mediana: valor medio de la distribución ordenada. Si N es par, entonces es el promedio de los valores medios * Media o promedio aritmético: suma de los valores dividido por el total de casos - Desventaja: influencia de valores extremos ??? Ejemplificar con ingreso --- # Dispersión: Rangos .pull-left[ - Rango: distancia entre los puntos extremos de la distribución - Rango intercuartil / semi intercuartil * Intercuartil: rango de acumulación del 50% de los datos Ej: 77,5-55=22,5 * Semi- intercuartil: la mitad 22,5/2=11,25 ] .pull-right[.medium[ <br> <br> | Cuartiles | Percentiles | Puntajes | |----------- |------------- |---------- | | 1 | 25 | 32,5 | | 2 | 50 | 55 | | 3 | 75 | 77,5 | | 4 | 100 | 100 | ] ] --- # Dispersión: Varianza .pull-left[ - Suma de las diferencias al cuadrado de cada valor (x) y el promedio de la distribución divididos por el total menos 1. Formalmente: `$$\sigma^{2}= {\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}$$` - Considerando N-1 para la varianza de la muestra. ] .pull-right[ | ID | Pje (x) | `$$x-\bar{x}$$` | `$$(x-\bar{x})^{2}$$` | |------|---------|----------|-----------| | 1 | 6 | 0.4 | 0.16 | | 2 | 4 | -1.6 | 2.56 | | 3 | 7 | 1.4 | 1.96 | | 4 | 2 | -3.6 | 12.96 | | 5 | 9 | 3.4 | 11.56 | | Sum | 28 | 0 | 29.2 | | Prom | 5.6 | | | `$$\sigma^{2}= {(29.2)\over {5 - 1}}$$` .center[**$$ = 7.3$$**] ] --- # Desviación Estándar .pull-left[ - Raiz Cuadrada de la varianza. - Se interpreta como la variabilidad promedio de los puntajes desde un punto de referencia común: el promedio de los datos. - Expresada en la mismas unidades que los puntajes. ] .pull-right[ `$$\sigma= \sqrt{{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}\over {N - 1}}}$$` _En el ejemplo anterior:_ `$$\sigma= \sqrt{{(29.2)^{2}\over {5 - 1}}}$$` .center[**$$ = 2.7$$**] ] --- class: middle, center, inverse # 5. Prueba de Hipótesis --- # Hipótesis - Proposición respecto a uno o varios parámetros * Prueba de hipótesis - Determinar si la hipótesis es congruente con los datos obtenidos en la muestra - Por ejemplo, si mi hipótesis es que hombres y mujeres poseen diferente rendimiento en matemática, el objetivo del análisis es encontrar diferencias estadísticamente significativas entre ambos grupos en la muestra --- # Prueba de Hipótesis y significación estadística - Las hipótesis no pueden ser aceptadas o descartadas 100% a partir de los estadígrafos - El rechazo de hipótesis tiene que ver con el concepto de PROBABILIDAD *Ej: ¿con qué nivel de probabilidad puedo decir que existen diferencias entre hombres y mujeres en rendimiento en matemáticas? - Por lo tanto, el elemento central en la prueba de hipótesis es establecer es la probabilidad de error que estamos cometiendo en la inferencia --- # Prueba de Hipótesis y significación estadística * Dada la probabilidad asociada a la inferencia, es imposible demostrar que algo es verdadero. * Para hacer frente a esta situación, se establecen dos tipos de hipótesis: -Hipótesis nula ( `\(H_{0}\)` ): no existen diferencias -Hipótesis alternativa ( `\(H_{a}\)` ): existen diferencias * Objetivo de la investigación: rechazar `\(H_{0}\)` --- # Ejemplo ¿Tiene el entrenamiento en matemáticas un impacto en mayor puntaje SIMCE? `$$H_{0}: \mu_{0}=\mu_{1} \vee \mu_{entren}=\mu_{pob}$$` `$$H_{a}: \mu_{0}>\mu_{1} \vee \mu_{entren}>\mu_{pob}$$` Tipos posibles de error Rechazar `\(H_{0}\)` cuando esta es verdadera (Error tipo I o `\(\alpha\)`) No rechazar `\(H_{a}\)` cuando esta es falsa (Error tipo I o `\(\beta\)`) ??? simbolo "v" es el logical "or" --- class: inverse, middle, center # 7. Correlación --- # Bases correlación - Es una técnica estadística usada para medir y describir la relación entre dos variables numéricas (nivel de medición de intervalo o de razón) - La medida más común de correlación es el coeficiente de correlación de Pearson ( `\(r\)` ). - Da cuenta de: Intensidad de la asociación y dirección - Su rango de variación es entre **-1 y 1** **Dirección** 1. Correlación Positiva: cuando dos variables se mueven en la misma dirección. En otras palabras, cuando valores altos de una variable están asociados a valores altos en otra variable (años de educación e ingreso) 2. Correlación negativa: cuando las dos variables se mueven en direcciones opuestas Valores altos de una variable están asociadas con valores bajos de la otra (nivel de eficacia colectiva vecinal y sensación de inseguridad) --- # Correlación: Positiva y Negativa .center[] --- # Forma e intesidad de relación **Asociación lineal**: cuando los puntos en un diagrama tienden a tener forma de una línea recta **Correlación de Pearson** mide cuán bien los puntos en un gráfico se ajustan a una relación lineal **Grado de intensidad** ¿Cuán exactamente se ajustan los datos a la forma lineal específica? El grado de intensidad es medido por el valor numérico de los valores del coeficiente de correlación `\(r\)` - Entre -1.0 y +1.0 - Correlación r =0 indica ausencia absoluta de relación lineal - Correlación -1.0 indica correlación lineal perfecta negativa - Correlación +1.0 indica correlación lineal perfecta positiva --- # Nubes de puntos y correlaciones .center[] --- # Correlación de Pearson Mide el grado y la dirección de una relación lineal entre dos variables (de nivel de medición intervalo/razón) `$$r= \frac{Cov(x,y)}{\sigma _{x} \sigma_{y}}$$` Para calcular la correlación necesitamos algo que llamaremos suma de productos de las desviaciones (SP) de X e Y `$$SP= \sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$$` Esto es análogo a la suma de cuadrados (SC), solo que ahora se mide la covarabilidad (COVARIANZA) entre dos variables en vez de la variación de una sola variable. `$$SC= \sum(x-\bar{x})$$` ??? r de pearson = grado de variación conjunta entre x e Y partido por el grado en el cual x e y varian separadamente. --- # Correlación de Pearson La suma de productos (SP) se usa para calcular el coeficiente de correlación Pearson r junto con la suma de cuadrados de X y de Y `$$r= \frac{SP(xy)}{\sqrt{SC_{x} SC_{y}}}$$` o bien `$$r= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}}$$` --- # Aspectos a considerar Correlación NO implica causalidad: x no es causa de y ni y es causa de x; solo están asociados. La correlación debería estar informada por teoría que haga inteligible la asociación entre X e Y. Que no exista correlación lineal no significa (necesariamente) que las variables no estén asociadas de otra forma (curvilínea, por ejemplo) --- # Aspectos a considerar: Ejemplo <img src="CausalidadCor.png" width="75%" style="display: block; margin: auto;" /> ??? Correlación entre el consumo de chocolate por habitantes y la cantidad de premios nobel por millon de personas. --- # Ejemplo de correlación Estimar la correlación entre puntaje en lenguaje (x) y puntaje en matemáticas (y): .left-column[ .small[ | id | x | y | `$$x-\bar{x}$$` | `$$y-\bar{y}$$` | `$$(x-\bar{x})*(y-\bar{y})$$` | `$$(x-\bar{x})^{2}$$` | `$$(y-\bar{y})^{2}$$` | |-----:|---:|---:|--------:|--------:|---------:|---------:|---------:| | 1 | 17 | 24 | -3 | 3 | -9 | 9 | 9 | | 2 | 19 | 23 | -1 | 2 | -2 | 1 | 4 | | 3 | 14 | 22 | -6 | 1 | -6 | 36 | 1 | | 4 | 22 | 17 | 2 | -4 | -8 | 4 | 16 | | 5 | 15 | 23 | -5 | 2 | -10 | 25 | 4 | | 6 | 26 | 21 | 6 | 0 | 0 | 36 | 0 | | 7 | 23 | 18 | 3 | -3 | -9 | 9 | 9 | | 8 | 21 | 17 | 1 | -4 | -4 | 1 | 16 | | 9 | 28 | 21 | 8 | 0 | 0 | 64 | 0 | | 10 | 15 | 24 | -5 | 3 | -15 | 25 | 9 | | **Sum** | | | | | -63 | 210 | 68 | | Prom | 20 | 21 | | | | | | ] ] .pull-right-narrow[ .right[ `$$r= \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x-\bar{x})^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}}$$` `$$=\frac{-63}{\sqrt{210*68}}$$` `$$=-0.5272$$` ] ] --- # Ejemplo cálculo en R - 1.Ingreso manual de datos ```r x <- c(17, 19, 14, 22, 15, 26, 23, 21, 28, 15) y <- c(24, 23, 22, 17, 23, 21, 18, 17, 21, 24) ``` - 2.Promedios ```r prom_x=mean(x) prom_x ``` ``` ## [1] 20 ``` ```r prom_y=mean(y) prom_y ``` ``` ## [1] 21 ``` --- # Ejemplo cálculo en R - 3.Numerador de Pearson: suma de productos de diferencias del Promedio ```r prod_difs_xy <- (x-(mean(x)))*(y-(mean(y))) sum_prod_difs_xy <- sum(prod_difs_xy) sum_prod_difs_xy ``` ``` ## [1] -63 ``` --- # Ejemplo cálculo en R - 4.Denominador Pearson: Raiz del producto de la suma de cuadrados de x por la de y ```r dif_x2<- (x-(mean(x)))^2 sum_dif_x2 <- sum(dif_x2) sum_dif_x2 ``` ``` ## [1] 210 ``` ```r dif_y2<- (y-(mean(y)))^2 sum_dif_y2 <- sum(dif_y2) sum_dif_y2 ``` ``` ## [1] 68 ``` --- # Ejemplo cálculo en R - 5.Pearson ```r corr=sum_prod_difs_xy/sqrt((sum_dif_x2)*(sum_dif_y2)) corr ``` ``` ## [1] -0.5272013 ``` ... y por comando en R ```r cor(x,y) ``` ``` ## [1] -0.5272013 ``` --- # Demostración en R ```r plot(x, y, col = "blue", main = "Gráfico de Puntos", xlab = "Puntaje Lenguaje", ylab = "Puntaje Matemáticas") abline(lm(y ~ x)) ``` <img src="1_bases_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png" width="40%" /> --- # Ejercicio práctico ¿Cuál es la relación entre la temperatura y las ventas de helado? A partir de la siguiente tabla calcule la correlación (y covarianza) entre la temperatura y las ventas de helado. | Temperatura | Ventas de Helado | |-------------|------------------| | 66 | 8 | | 72 | 11 | | 77 | 15 | | 84 | 20 | | 83 | 21 | | 71 | 11 | | 65 | 8 | | 70 | 10 |