3.1 Verificación y descriptivos

Verificamos si los datos están siendo bien leidos:

View(datos)

Tenemos entonces tres columnas: - id: número único que identifica a cada sujeto - juegos: número de veces que ha jugado previamente - puntos: numero de puntos que obtuvo en el juego actual

Generamos una tabla de descriptivos básicos

summary(datos)

##        id           juegos      puntos 
##  Min.   : 1.0   Min.   :0   Min.   :2  
##  1st Qu.: 6.5   1st Qu.:2   1st Qu.:3  
##  Median :12.0   Median :3   Median :4  
##  Mean   :12.0   Mean   :3   Mean   :4  
##  3rd Qu.:17.5   3rd Qu.:4   3rd Qu.:5  
##  Max.   :23.0   Max.   :6   Max.   :6

Y para publicar, usando la librería stargazer

library(stargazer)
stargazer(datos, type = "text")

## 
## ======================================================
## Statistic N   Mean  St. Dev. Min Pctl(25) Pctl(75) Max
## ------------------------------------------------------
## id        23 12.000  6.782    1    6.5      17.5   23 
## juegos    23 3.000   1.758    0     2        4      6 
## puntos    23 4.000   1.382    2     3        5      6 
## ------------------------------------------------------

4.1 Experiencia en juegos y puntuación

La pregunta que nos hacemos para este ejercicio de demostración es: ¿tiene relación la experiencia previa (juegos) con el rendimiento actual (puntos)?

Veamos un gráfico de nube de puntos / scatter de ambas variables. Para eso, primero cargamos la librería ggplotde R. Recordar que hay que instalarla primero si es que no se ha hecho previamente con install.packages("ggplot")

pacman::p_load(ggplot2,plotly)

# basic scatterplot
g=ggplot(datos, aes(x=juegos, y=puntos)) +
  geom_point()

gg=ggplotly(g)
gg

Primero, sobre librerías y visualización: lo que hicimos fue grear un gráfico scatterplot “g” con la librería ggplot; luego modificamos este gráfico y creamos uno nuevo “gg” con la función ggplotly para añadir elementos interactivos (en este caso, las coordenadas de cada punto del gráfico).

En términos de correlación se observa una posible asociación positiva, que podemos corroborar con la función cor

cor(datos$juegos,datos$puntos)

## [1] 0.636209

Tenemos una correlación positiva y de un tamaño de efecto grande (para ciencias sociales), que nos señala una asociación positiva entre ambas variables. Ahora, ¿cómo se relaciona más específcamente la experiencia en juegos con los puntos obtenidos posteriormente?

4.2 Medias condicionales

Antes de avanzar desde la correlación al método de regresión es importante conocer el concepto de media condicional. Como sabemos el promedio de Y (puntos) es 4. Es decir, si conocemos a algun individuo que pertence al grupo de “datos”, sabemos que su puntaje se encuentra probablemente cercano a 4. ¿Podemos mejorar nuestra estimación utilizando el puntaje de X? Como lo conocemos, si el sujeto nos dice que ha jugado antes 6 veces, dada la información que conocemos probablemente vamos a estimar un puntaje superior de puntos, tal vez más cercano a 6. Lo que estamos haciendo es utilizar la información que conocemos de X para dar una estimación de Y que sea más precisa que el promedio bruto.

Mirando el gráfico de nube de puntos, sabemos que tres personas han jugado antes una vez, pero una de ellas tuvo 2 puntos, otra 3 y otra 4. Con estos datos podemos calcular la media de Y para X=1, que sería igual a 3. En otras palabras, la media condicional de Y cuando X=1 es 3. Con esto, uno podría calcular la media condicional para cada punto de X y hacer una estimación más precisa de Y. Sin embargo, este proceso todavía no nos permite generalizar más precisamente la relación entre X e Y: ¿Cuántos puntos (Y) aumento segun mi experiencia previa de juego (X)? Esta pregunta nos conduce al cálculo de una recta que atraviese los puntos y que generalice la relación entre X e Y:

g2=ggplot(datos, aes(x=juegos, y=puntos)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method=lm, se=FALSE)
g2

4.3 Residuos

En el gráfico anterior vemos que la línea resume la relación entre X e Y, pero claramente es una simplificación que no abarca toda la variabilidad de los datos. Por ejemplo, para el sujeto cuya experiencia es haber jugado 1 vez y luego gana 3 puntos, esta línea predice exáctamente su puntaje basada en su experiencia. Sin embargo, el sujeto que ha jugado 3 veces y saca 6 puntos se encuentra más lejos de la línea y por lo tanto esta línea o “modelo predictivo” no representa tan bien su puntaje. A esto se refieren los residuos, que es la diferencia entre el valor predicho (o \(\widehat{Y}\)) y el observado \(Y\). Por lo tanto, la mejor recta será aquella que minimice al máximo los residuos.

El sentido de la recta que resume de mejor manera la relación entre dos variables es que minimice la suma de todos los residuos. Para realizar la suma de los residuos estos se elevan al cuadrado, lo que se denomina suma de residuos al cuadrado o \(SS_{residual}\) ya que como hay residuos positivos y negativos unos se cancelan a otros y la suma es 0. De la infinita cantidad de rectas que se pueden trazar, siempre hay una que tiene un valor menor de \(SS_{residual}\). Este procedimiento es el que da nombre al proceso de estimación: residuos cuadrados ordinarios, o OLS (Ordinary Least Squares).

4.4 Modelo y cálculo de parámetros

El modelo de regresión entonces se relaciona con una ecuación de la recta, o recta de regresión, que se puede definir en términos simples de la siguiente manera:

\[\widehat{Y}=b_{0} +b_{1}X \]

Donde

• \(\widehat{Y}\) es el valor estimado de \(Y\)
• \(b_{0}\) es el intercepto de la recta (el valor de Y cuando X es 0)
• \(b_{1}\) es el coeficiente de regresión, que nos dice cuánto aumenta Y por cada punto que aumenta X

4.5 Cálculo de los parámetros del modelo de regresión

\(b_{1}\), o comunmente llamado “beta de regresión” se obtiene de la siguiente manera:

\[b_{1}=\frac{Cov(XY)}{VarX}\] En términos más suntantivos se puede entender como qué parte de la covariación que hay entre X e Y se relaciona con (la varianza de) X. Especificando la fórmula:

\[b_{1}=\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {n-1}}{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})} {n-1}}\] Y simplificando

\[b_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})}\]

Como sabemos, la base para todos estos calculos es el valor de cada variable menos su promedio. Vamos a crear un vector en nuestra base de datos difx=\(x-\bar{x}\) y dify=\(y-\bar{y}\)

datos$difx=datos$juegos-mean(datos$juegos)
datos$dify=datos$puntos-mean(datos$puntos)

Y ahora con esto podemos obtener la diferencia de productos cruzados dif_cru=\((x-\bar{x})*(y-\bar{y})\), así como la suma de cuadrados de X SSx=\((x-\bar{x})^2\)

datos$dif_cru=datos$difx*datos$dify
datos$SSx=datos$difx^2
datos

##    id juegos puntos difx dify dif_cru SSx
## 1   1      0      2   -3   -2       6   9
## 2   2      0      3   -3   -1       3   9
## 3   3      1      2   -2   -2       4   4
## 4   4      1      3   -2   -1       2   4
## 5   5      1      4   -2    0       0   4
## 6   6      2      2   -1   -2       2   1
## 7   7      2      3   -1   -1       1   1
## 8   8      2      4   -1    0       0   1
## 9   9      2      5   -1    1      -1   1
## 10 10      3      2    0   -2       0   0
## 11 11      3      3    0   -1       0   0
## 12 12      3      4    0    0       0   0
## 13 13      3      5    0    1       0   0
## 14 14      3      6    0    2       0   0
## 15 15      4      3    1   -1      -1   1
## 16 16      4      4    1    0       0   1
## 17 17      4      5    1    1       1   1
## 18 18      4      6    1    2       2   1
## 19 19      5      4    2    0       0   4
## 20 20      5      5    2    1       2   4
## 21 21      5      6    2    2       4   4
## 22 22      6      5    3    1       3   9
## 23 23      6      6    3    2       6   9

Y con esto podemos obtener la suma de productos cruzados y la suma de cuadrados de X

sum(datos$dif_cru)

## [1] 34

sum(datos$SSx)

## [1] 68

Reemplazando en la fórmula

\[b_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})}=\frac{34}{68}=0.5\]

Y con esto podemos obtener el valor de \(b_{0}\)

\[b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\bar{X}\] \[b_{0}=4-(3 * 0.5)=2.5\]

Completando la ecuación:

\[\bar{Y}=2.5+0.5X\]

Esto nos permite estimar el valor de \(Y\) (o su media condicional) basado en el puntaje \(X\). Por ejemplo, cuál es el valor estimado de \(Y\) dado \(X=5\)?